いよいよ夏本番ですね。みなさんは夏という季節はお好きですか?人によって好みは様々かもしれませんが、夏になると植物はグングンと成長していて、何だか嬉しそうに見えますね。

あなたの学力もこの夏にグングン成長するのでしょうか?

そのきっかけになることを願って、今回は多くの人が苦手な科目である数学に光を当ててみたいと思います。

ヒマワリの花のうず

夏といったらヒマワリの花ですよね。ヒマワリの花をよく観察したことはありますか。

花の中央にある種ができる部分に注目してみてください。良く見ると、うずを巻いているように見えませんか?左右どの向きのうずが見えますか?

左!と言ったあなたも、右!と言ったあなたも、どちらも正解です。

次は、うずの線を数えてみましょう。

左の赤い線を引いた画像は左回りのうずを、右の青い線を引いた画像は右回りのうずを示しています。

左回りのうずは34本、右回りのうずは55本ありました。うーん、それがどうしたの?と思われるかもしれません。でも、この(34と55)という数の組み合わせには面白い規則性があるのです。

解くカギは他の組み合わせのヒマワリ

他にも、うずの巻き方が(21と34)、(55と89)という数の組み合わせになっているヒマワリの花があることが知られています。これらの組み合わせにも、34か55のいずれかの数が含まれていますね。

新しく登場した21という数を、34と55という先に出た2つの数を使って表せないでしょうか?

55-34=21 です。
つまり、21+34=55・・・①ということですね。

89という数字はいかがですか?これらも、34と55という先に出た2つの数字を使って表せないでしょうか?

34+55=89・・・②です。

ということは、(21、34、55、89)という数列には、どのような規則があるのでしょうか。
①と②の式がヒントです。

それぞれ前の2つの数を足してできた数列だったのですね。

フィボナッチ数列と黄金角

これらの数列をさかのぼっていくとどうなりますか。89-55=34、55-34=21となっていることに注目しましょう。さらに順番に引き算をしていくと、以下のようになります。

34-21=13
21-13=8
13-8=5
8-5=3
5-3=2
3-2=1
2-1=1

ここで新しく登場した数を含めて並べてみると、(1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89)となりました。

1+1=2
 1+2=3
   2+3=5
    3+5=8
     5+8=13
       8+13=21
        13+21=34
          21+34=55
            34+55=89

たしかに前の2つの数を足してできる数列になっていますね。これはフィボナッチ数列と言われています。なぜヒマワリの花の中心にこのような数の組み合わせが見られるのでしょうか。

例えば、(34と55)というようにフィボナッチ数列の隣り合う2つの数を選んで、その比34:55でホールケーキを分けてみることを考えてみましょう。

実はこの数の組み合わせを(55、84)、(84、139)・・・というように大きくしていくと、ある角度に近づいていきます。
それを黄金角(約137.5°)といいます。

なぜヒマワリの花に黄金角?

どうしてヒマワリの花に黄金角が見られるのでしょうか。
この角度で種が成長していくと、無駄な空きスペースができることを避けて効率的に並べることができるからです。本当によくできていますね。
多くの植物の新たな器官が成長する角度も黄金角だそうです。

Scratchというプログラミングができるウェブサイトでシュミレーションしてみましょう。
パズルのピースを組み合わせるようになっているので、初めてでも取り組みやすくなっています。

簡単のために、中心付近から外側へ広がるように種を並べることができます。

角度をわずかでも変えることで、種の並び方が大きく変わってしまうことがわかります。
たとえばもし140°で種をつけるなら、外側は放射状に並ぶことになります。デッドスペースが大きすぎて効率的な配列ではなくなります。

色々な角度に設定してみましょう。

135°で種を並べたとき
137.51°で種を並べたとき
(黄金角)
140°で種を並べたとき
127.5°で種を並べたとき
138.5°で種を並べたとき
147.5°で種を並べたとき

まとめ

フィボナッチ数列はヒマワリの花だけではなく、パイナップルや松ぼっくりなどにも見られます。夏休みに調べてみるのはいかがですか。植物というありふれた存在でも少し学ぶだけで面白く見えてきますね。秩序よくできていることが分かります。

勉強をすればするほど、世界が違ってみえてきます。クラッセはあなたの考える力を十分に引き出したいと思っています。

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 【効果的な勉強法】こんな勉強方法はNG!?

※  (以下は高校生向けの注記で、黄金角を導出しています。)
フィボナッチ数列をF1=F2=1,Fn+1=Fn+Fn-1ただし、n≥2と定義すると、

* n個目の種の位置を極座標表示で以下のようにして、シュミレーションしました。
ただし、r0とθ0は任意の定数です。